Suite de Syracuse

La suite de Syracuse d’un nombre entier `N > 0` est définie par récurrence de la façon suivante :
`u_0 = N` et pour tout entier naturel `n > 0` :

\(u_{n + 1} = \begin{cases} \dfrac{u_n}{2} \text{ si} \, u_n \text {est pair} \\3 u_n +1 \text{ si} \, u_n \text {est impair} \\ \end{cases}\)

Une conjecture (donc toujours non démontrée à l’heure actuelle) affirme que, pour tout entier \(N\) , il existe un indice \(n\) tel que \(u_n = 1\) .

Partie 1
On considère en langage Python la fonction syracuse(N,n) renvoyant le terme un avec u0 = N :

def syracuse(N,n):
u = N
for i in range(1, n+1): # pour i allant de 1 à n
if u%2==0: # u%2: reste de la division euclidienne de u par 2
u = u//2 # u//2: quotient de la division euclidienne de u par 2
else:
u = 3*u+1
return u

1. Saisir le programme précédent dans EduPython par exemple.
2. Exécuter la fonction afin d’obtenir les 5 premiers termes de la suite avec N = 1 et vérifier que les résultats fournis par le programme correspondent à ceux trouvés à la main.

Partie 2

Voici une fonction retournant la liste des n premiers termes de la suite de Syracuse :

def listesyracuse(N, n):
L = []
for i in range(n): # pour i allant de 0 à n-1
L = L+[syracuse(N, i)]
return L

Déterminer la liste des 30 premiers termes de la suite de Syracuse pour N allant de 1 à 15. Que remarquez-vous ? La conjecture est-elle vérifiée ?